La lógica proposicional
o
Lógica de orden cero
Es un sistema formal cuyos elementos más simples representan proposiciones, y cuyas constantes lógicas, llamadas conectivas, representan operaciones sobre proposiciones, capaces de formar otras proposiciones de mayor complejidad.
La lógica proposicional trata con sistemas lógicos que carecen de cuantificadores, o variables interpretables como entidades. En lógica proposicional si bien no hay signos para variables de tipo entidad, sí existen signos para variables proposicionales (es decir, que pueden ser interpretadas como proposiciones con un valor de verdad de definido), de ahí el nombre proposicional. La lógica proposicional incluye además de variables interpretables como proposiciones simples signos para conectivas lógicas, por lo que dentro de este tipo de lógica puede analizarse la inferencia lógica de proposiciones a partir de proposiciones, pero sin tener en cuenta la estructura interna de las proposiciones más simples.
Ejemplo:
Considérese el siguiente argumento:
- Mañana es miércoles o mañana es jueves.
- Mañana no es jueves.
- Por lo tanto, mañana es miércoles.
Es un argumento válido. Quiere decir que es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Esto no quiere decir que la conclusión sea verdadera. Si las premisas son falsas, entonces la conclusión también podría serlo. Pero si las premisas son verdaderas, entonces la conclusión también lo es. La validez de este argumento no se debe al significado de las expresiones «mañana es miércoles» y «mañana es jueves», porque éstas podrían cambiarse por otras y el argumento permanecer válido. Por ejemplo:
- Está soleado o está nublado.
- No está nublado.
- Por lo tanto, está soleado.
En cambio, la validez de estos dos argumentos depende del significado de las expresiones «o» y «no». Si alguna de estas expresiones se cambiara por otra, entonces podría ser que los argumentos dejaran de ser válidos. Por ejemplo:
- Ni está soleado ni está nublado.
- No está nublado.
- Por lo tanto, está soleado.
Las expresiones de las que depende la validez de los argumentos se llaman constantes lógicas. La lógica proposicional estudia el comportamiento de algunas de estas expresiones, llamadas conectivas lógicas. En cuanto a las expresiones como "está nublado" o "mañana es jueves", lo único que importa de ellas es que tengan un valor de verdad. Es por esto que se las reemplaza por simples letras, cuya intención es simbolizar una expresión con valor de verdad cualquiera. A estas letras se las llama variables proposicionales, y en general se toman del alfabeto latino, empezando por la letra p, luego q, r, s, etc. Así, los dos primeros argumentos de esta sección podrían reescribirse así:
- p o q
- No q
- Por lo tanto, p
Y el tercer argumento, a pesar de no ser válido, puede reescribirse así:
- Ni p ni q
- No q
- Por lo tanto, p
Conectivas lógicas
A
continuación hay una tabla que despliega todas las conectivas lógicas que
ocupan a la lógica proposicional, incluyendo ejemplos de su uso en el lenguaje natural y los
símbolos que se utilizan para representarlas en lenguaje formal:
En la lógica
proposicional, las conectivas lógicas se tratan como funciones
de verdad. Es decir, como funciones que
toman conjuntos de valores de verdad y devuelven valores de verdad. Por
ejemplo, la conectiva lógica «no» es una función que si toma el valor de verdad
V, devuelve F, y si toma el valor de verdad F, devuelve V. Por lo tanto, si se
aplica la función «no» a una letra que represente una proposición falsa, el
resultado será algo verdadero. Si es falso que «está lloviendo», entonces será
verdadero que «no está lloviendo».
El
significado de las conectivas lógicas no es nada más que su comportamiento como
funciones de verdad. Cada conectiva lógica se distingue de las otras por los
valores de verdad que devuelve frente a las distintas combinaciones de valores
de verdad que puede recibir. Esto quiere decir que el significado de cada conectiva
lógica puede ilustrarse mediante una tabla que despliegue los valores de verdad
que la función devuelve frente a todas las combinaciones posibles de valores de
verdad que puede recibir.
Leyes notables en lógica
Entre las
reglas de la lógica proposicional clásica algunas de la más notables son
listadas a continuación:
1. Ley de doble negación
2. Leyes de idempotencia
3. Leyes asociativas
4. Leyes conmutativas
5. Leyes distributivas
6. Leyes de De Morgan
Otras leyes
como el principio
del tercero excluido son
admisibles en lógica clásica, pero en lógica intuicionista y con fines a sus
aplicaciones matemáticas no existe un equivalente del tercero excluido, por
ejemplo.
Límites de la lógica proposicional
La
maquinaria de la lógica proposicional permite formalizar y teorizar sobre la
validez de una gran cantidad de argumentos. Sin embargo, también existen
argumentos que son intuitivamente válidos, pero cuya validez no puede ser
probada por la lógica proposicional. Por ejemplo, considérese el siguiente
argumento:
1. Todos los hombres son mortales.
2. Sócrates es un hombre.
3. Por lo tanto, Sócrates es mortal.
Como este
argumento no contiene ninguna de las conectivas «no», «y», «o», etc., según la
lógica proposicional, su formalización será la siguiente:
1. p
2. q
3. Por lo tanto, r
Pero esta es
una forma de argumento inválida, y eso contradice nuestra intuición de que el
argumento es válido. Para teorizar sobre la validez de este tipo de argumentos,
se necesita investigar la estructura interna de las variables proposicionales.
De esto se ocupa la lógica de primer orden. Otros sistemas formales permiten teorizar sobre otros
tipos de argumentos. Por ejemplo la lógica de segundo orden, la lógica modal y la lógica temporal.
Dos sistemas
formales de lógica proposicional
A
continuación se presentan dos sistemas formales estándar para la
lógica proposicional. El primero es un sistema axiomático simple, y el segundo
es un sistema sin axiomas, de deducción natural.
Sistema axiomático
Alfabeto
El alfabeto
de un sistema formal es el conjunto de símbolos que pertenecen al lenguaje del
sistema. Si L es el nombre de este sistema axiomático de lógica proposicional,
entonces el alfabeto de L consiste en:
·
Una cantidad finita pero arbitrariamente
grande de variables proposicionales. En general se las toma del alfabeto
latino, empezando por la letra p,
luego q, r, etc., y utilizando subíndices
cuando es necesario o conveniente. Las variables proposicionales representan proposiciones como
"está lloviendo" o "los metales se expanden con el calor".
·
Un conjunto de operadores lógicos:
·
Dos signos de puntuación: los paréntesis izquierdo y
derecho. Su única función es desambiguar ciertas expresiones ambiguas, en
exactamente el mismo sentido en que desambiguan la expresión 2 + 2 ÷ 2, que
puede significar tanto (2 + 2) ÷ 2, como 2 + (2 ÷ 2).
Gramática
Una vez
definido el alfabeto, el siguiente paso es determinar qué combinaciones de
símbolos pertenecen al lenguaje del sistema. Esto se logra mediante una gramática formal. La misma consiste en un conjunto de reglas que definen
respectivamente las cadenas de caracteres que
pertenecen al lenguaje. A las cadenas de caracteres construidas según estas
reglas se las llama fórmulas bien formadas. Las reglas del sistema L son:
1. Las variables proposicionales del alfabeto de L son
fórmulas bien formadas.
4. Sólo las expresiones que pueden ser generadas mediante
las cláusulas 1 a 3 en un número finito de pasos son fórmulas bien formadas de
L.
Axiomas
Los axiomas
de un sistema formal son un conjunto de fórmulas bien formadas que se toman
como punto de partida para demostraciones ulteriores. Un conjunto de axiomas
estándar es el que descubrió Jan Łukasiewicz:
Reglas de inferencial
Una regla de inferencia es
una función que
va de conjuntos de fórmulas a fórmulas. Al conjunto de fórmulas que la función
toma como argumento se lo llama premisas,
mientras que a la fórmula que devuelve como valor se la llama conclusión.
En general se busca que las reglas de inferencia transmitan la verdad de las
premisas a la conclusión. Es decir, que sea imposible que las premisas sean
verdaderas y la conclusión falsa. En el caso de L, la única regla de inferencia
es el modus ponens, el cual dice:
Recordando
que y no son
fórmulas, sino meta variables que pueden ser reemplazadas por cualquier fórmula
bien formada.
Lenguaje formal en la notación BNF
El lenguaje formal de la
lógica proposicional se puede generar con la gramática
formal descrita usando la notación BNF como
sigue:
Una
interpretación para un sistema de lógica proposicional es una asignación de
valores de verdad para cada variable proposicional, sumada a la asignación
usual de significados para los operadores lógicos. A cada variable
proposicional se le asigna uno de dos posibles valores de verdad: o V
(verdadero) o F (falso). Esto quiere decir que si hay n variables
proposicionales en el sistema, el número de interpretaciones distintas es de 2n.
Tablas de verdad
La tabla de verdad de una fórmula es una tabla en la
que se presentan todas las posibles interpretaciones de las variables proposicionales
que constituye la fórmula y el valor de verdad de la fórmula completa para cada
interpretación. Por ejemplo, la tabla de verdad para la fórmula sería:
Como se ve,
esta fórmula tiene 2n interpretaciones
posibles —una por cada línea de la tabla—, donde n es el número de variables
proposicionales (en este caso 3, es decir p, q, r) , y resulta ser una tautología, es decir que bajo todas las interpretaciones posibles
de las variables proposicionales, el valor de verdad de la fórmula completa
termina siendo V.
Tablas de verdad
En un sistema de lógica
proposicional,
una interpretación no es más que una función que asigna un único valor de
verdad a todas las
fórmulas atómicas bajo consideración. Diferentes interpretaciones, por lo
tanto, difieren sólo en las asignaciones de valores de verdad que hacen. Una
tautología es una fórmula
bien formada que
bajo cualquier interpretación de sus componentes atómicos, tiene valor de
verdad 1 (verdadero). Por lo tanto, para determinar si una fórmula cualquiera
es una tautología, basta con considerar todas las posibles interpretaciones de
las fórmulas atómicas, y calcular el valor de verdad del todo. Esto se logra
mediante una tabla de verdad. Por ejemplo, considérese la
fórmula p ∧q. Como a cada fórmula atómica puede asignársele uno
de dos posibles valores de verdad, hay en total 22 = 4 posibles
combinaciones de valores de verdad. Es decir, cuatro interpretaciones posibles:
o ambas son verdaderas; o p es verdadera y q falsa;
o p es falsa y q verdadera; o ambas son
falsas. Esto puede presentarse mediante una simple tabla:
Para
cada una de estas interpretaciones, puede calcularse el valor de verdad de la
fórmula p ∧ q. Los resultados pueden presentarse nuevamente
mediante una tabla:
Si una fórmula tiene n fórmulas atómicas, entonces tiene 2n interpretaciones posibles. En muchos casos, por lo tanto, las tablas de verdad pueden ser muy grandes. Lo importante, sin embargo, es que dado que la lógica proposicional no admite fórmulas infinitas, el número de interpretaciones posibles siempre será un número finito, y por lo tanto siempre será posible decidir si una fórmula cualquiera es una tautología o no.
Tautología
En lógica, una tautología (del griego ταυτολογία, "decir lo mismo") es una fórmula bien formada de un sistema de lógica proposicional que resulta verdadera para cualquier interpretación; es decir, para cualquier asignación de valores de verdad que se haga a sus fórmulas atómicas. La construcción de una tabla de verdad es un método efectivo para determinar si una fórmula cualquiera es una tautología o no.
Contradicción
En lógica, una contradicción es una incompatibilidad entre dos o más proposiciones. Por ejemplo, las oraciones «llueve y no llueve» y «ni llueve ni truena, pero llueve y truena» expresan contradicciones.
En lógica proposicional, una contradicción se define como una fórmula que resulta falsa para cualquier interpretación, es decir para cualquier asignación de valores de verdad que se haga a sus fórmulas atómicas.
En lógica, la consistencia o consistencia lógica es una propiedad que pueden tener los conjuntos de fórmulas. Intuitivamente, un conjunto de fórmulas es consistente cuando no contiene una contradicción o ambigüedad. La consistencia puede ser definida tanto en términos semánticos como en términos sintácticos. En términos semánticos, un conjunto de fórmulas es consistente si y sólo si tiene un modelo. Es decir, si existe al menos una interpretación que haga verdaderas a todas las fórmulas del conjunto. En términos sintácticos, un conjunto de fórmulas es consistente si y sólo si para toda fórmula A, no es posible deducir tanto A como ¬A (i.e. la negación lógica de A) a partir del conjunto de fórmulas.
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